Рубрика: Հանրահաշիվ

Տեսական նյութ

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1) Տեղադրման եղանակով լուծեք հավասարումների համակարգը.

2) Լուծեք հավասարումների համակարգը.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

3) Տեղադրման եղանակով լուծեք հավասարումների համակարգը.

4) Լուծեք հավասարումների համակարգը.

Հավելյալ խնդիրներ

5) Կենդանու գլուխը կշռում է այնքան ինչքան վերջույթներն ու մարմնի կեսը, իսկ մարմինը՝ այնքան, որքան վերջույթներն ու գլուխը միասին։ Պարզվում է , որ վերջույթները կշռում են 1կգ, որքան է կենդանու ընդհանուր քաշը։
մարմինը-x
գլուխը-x:2+1
վերջույթներ-1
x:2+1+1=x
x+2+2=2x
x=4

6) Գտեք օրինաչափությունը և հաջորդ թիվը լրացրեք.
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

7) 4000538 թվից հինգ թվանշան այնպես ջնջեք, որ մնացած թիվը լինի հնարավոր
ամենամեծը:
00043
58
8) Մաթեմատիկական մրցույթի ժամանակ 20 հարց էր տրված: Յուրաքանչյուր ճիշտ
պատասխանի դեպքում թիմը 12 միավոր էր ստանում, իսկ սխալ պատասխանի
դեպքում հանում էին 10 միավոր:Քանի՞ ճիշտ պատասխան էր տվել թիմը, եթե
պատասխանել էր բոլոր հարցերին և հավաքել էր 86 միավոր:
13 ճիշտ
156
7 սխալ

9) Երկու թվերի գումարը 715 է: Թվերից մեկը 0-ով է վերջանում: Եթե այդ 0-ն ջնջենք, մյուս թիվը կստացվի: Գտեք այդ թվերը:
650; 65

10) Արկղում 30 գնդիկ կա՝ սև և սպիտակ: Հայտնի է, որ ցանկացած 12 գնդիկից գոնե մեկը սպիտակ է, և ցանկացած քսանից գոնե մեկը՝ սև: Քանի՞ սև գնդիկ կա:
12- սև
20- սպիտակ

_Նախագծային, հետազոտական աշխատանք
Իմ աշխատանքը ՝
«Մաթեմատիկոս, Ֆիզիկոս, թե՞ աստղագետ»

ԱՆՊԱՅՄԱՆ ԴԻՏԵԼ՝
>> Տեսադաս Ա
Այս դասին դիտարկվում են երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգեր, որոնցում անհայտների բոլոր գործակիցները զրոյից տարբեր են և համեմատական չեն:

Յուրաքանչյուր այդպիսի համակարգ ունի միակ լուծում:

Օրինակ: Լուծենք 

հավասարումների համակարգը:

Առաջին հավասարումից y-ն արտահայտենք x-ով՝

                                      y=2x+4:

Այժմ երկրորդ հավասարման մեջ y-ի փոխարեն տեղադրենք 2x+4-ը և կստանանք՝

                                     3x+4(2x+4)-27=0:

Լուծելով արդեն մեկ անհայտով առաջին աստիճանի ստացված հավասարումը՝ կստանանք, որ x=1:
x-ի ստացված արժեքը կտեղադրենք y=2x+4 հավասարման մեջ և կստանանք, որ y=6: Այսպիսով, x=1, y=6: Տեղադրելով նշված արժեքները հավասարումների համակարգի մեջ՝ համոզվում ենք, որ դրանք, իրոք՝ բավարարում են այդ հավասարումներին:
Հետևաբար համակարգն ունի միակ լուծում՝ (1;6):

Համակարգի հավասարումներից մեկում կարելի էր նաև x-ը արտահայտել y-ով և x-ի ստացված արժեքը տեղադրել մյուսի մեջ:Լուծման հետևյալ եղանակը կոչվում է տեղադրման եղանակ:

Տեսական նյութ

1) Պարզեք՝ (-3; 1) թվազույգը համակարգի լուծո՞ւմ է.

2) Բերեք երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգերի օրինակներ, որոնցում անհայտների գործակիցները

ա) համեմատական են,

բ) համեմատական չեն:

3) Համակարգի հավասարումներում անվանեք գործակիցները և ազատ անդամները.

4) Ցույց տվեք, որ (1;2) թվազույգը համակարգի լուծում է.

5) Ցույց տվեք, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

6) (-1;4) թվազույգը համակարգի լուծու՞մ է.

7) a-ի և b-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում (1;0) թվազույգը համակարգի լուծում է.

8) Ելնելով տված պայմանից, կազմեք երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգ.

ա) երկու թվերի գումարը 7 է,իսկ տարբերությունը՝ 2,

բ) երկու թվերի տարբերությունը 12 է, իսկ գումարը՝ 27:

Հավելյալ խնդիրներ

9) Թիվը 3-ի և 6-ի բաժանելիս ստացված մնացորդների գումարը հավասար է 7-ի: Գտի՛ր այդ մնացորդների արտադրյալը:
5×2=10
Պատ՝ 10

10) Տիգրանի ժամացույցը ետ է մնում 10 րոպեով, սակայն նա կարծում է, թե իր ժամացույցը առաջ է ընկնում 5 րոպեով: Լևոնի ժամացույցը առաջ է ընկնում 5 րոպեով, սակայն նա կարծում է, թե իր ժամացույցը ետ է մնում 10 րոպեով: Նրանք միաժամանակ նայում են իրենց ժամացույցներին: Տիգրանը կարծում է, թե այդ պահին ժամը 12:00- ն է: Ժամը քանի՞սն է այդ պահին՝ Լևոնի կարծիքով:
12:15

11) Գնացքն ունի հինգ վագոն, որոնցից յուրաքանչյուրում կա առնվազն մեկ ուղևոր: Երկու ուղևոր հարևան են, եթե նույն վագոնում են կամ երկու հարևան վագոններում: Յուրաքանչյուր ուղևոր ունի կա՛մ ուղիղ հինգ, կա՛մ ուղիղ տասը հարևան: Քանի՞ ուղևոր կա գնացքում:

12) 12 մարդ խանութից 12 հաց գնեց, ընդ որում, յուրաքանչյուր տղամարդ գնեց 2 հաց, յուրաքանչյուր կին՝ կես հաց, իսկ յուրաքանչյուր երեխա՝ մեկ քառորդ հաց: Քանի՞ տղամարդ, քանի՞ կին և քանի՞ երեխա հաց գնեց:

13) Երբ Սոնան 7 տարեկան էր, նրա մայրը 31 տարեկան էր: Հիմա Սոնան իր մայրիկից փոքր է 3 անգամ: Քանի՞ տարեկան է Սոնայի մայրիկը: Քանի էջ ունի գիրքը եթե նրան համարակալելու համար անհրաժեշտ է եղել 35 թվանշան։

Նախագծային, հետազոտական աշխատանք
«Մաթեմատիկոս, Ֆիզիկոս, թե՞ աստղագետ»

Դիցուք տրված են x և y անհայտներով երկու առաջին աստիճանի հավասարումներ՝

a₁x+b₁y+c₁=0 և   a₂x+b₂y+c₂=0           (1)

Ասում են, որ տրված է x և y երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարման համակարգ, եթե պահանջվում է գտնել բոլոր այն (x₀; y₀) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ (1)-ի և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծումներն են:

Սովորաբար համակարգի հավասարումները գրում են սյունակով՝ մեկը մյուսի տակ, և դրանք ձախից միավորում ձևավոր փակագծերով՝

(2) համակարգի լուծում անվանում են այնպսի (x₀; y₀) թվազույգը, որը (2) համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրի լուծում է:

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

Եթե (2) հավասարումների համակարգում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են և բավարարում են a₁:a₂=b₁:b₂ պայմանին, ապա ասում են, որ այդ համակարգի հավասարումներն ունեն անհայտների համեմատական գործակիցներ:

Եթե (2) հավասարումների համակարգում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են և բավարարում են

պայմանին, ապա ասում են, որ (2)  համակարգի հավասարումների անհայտների գործակիցները համեմատական չեն:

Վիկտոր Համազասպի Համբարձումյան, ծնվել է սեպտեմբերի 5-ին , 1908 թվականին Թիֆլիսում, հայ աստղագետ և աստղաֆիզիկոս, տեսական աստղաֆիզիկայի հիմնադիրներից մեկը։

Հայրը՝ Համազասպ Համբարձումյանը եղել է իրավաբան, գրականագետ։ Նկատելով երեք-չորս տարեկան որդու՝ թվերի նկատմամբ ունեցած մեծ հետաքրքրությունը, հայրն ավելի լրջորեն է զբաղվում օժտված զավակով՝ զարգացնելով նրա բնատուր բնագիտական ձիրքը։ Դպրոցական տարիներին առավել ցայտուն են դրսևորվում մաթեմատիկայի և աստղագիտության նկատմամբ նրա հակումները։ Այդ տարիներին արդեն հրապարակային դասախոսություններ է կարդում ֆիզիկայի և աստղագիտության խնդիրների վերաբերյալ։ 1924 թվականի մարտին 15-ամյա Համբարձումյանը Երևանի պետական համալսարանում անվանի պրոֆեսորների, դասախոսների ուսանողների և աշակերտների համար դասախոսություն է կարդում Ալբերտ Էյնշտեյնի հարաբերականության տեսության վերաբերյալ, որն ընդունվում է մեծ հետաքրքրությամբ։ Մի քանի ամիս անց նույն դասախոսությունը կրկնում է Թիֆլիսում։

1924 թվականին Վիկտորն ընդունվում է Լենինգրադի մանկավարժական ինստիտուտի ֆիզիկա-մաթեմատիկական բաժինը։ Մեկ տարի անց տեղափոխվում է Լենինգրադի պետական համալսարան։ 1926 թվականին, տակավին ուսանող, նա հրատարակում է իր առաջին գիտական հոդվածը՝ նվիրված արեգակնային ջահերին։ Ուսանողական տարիներին տպագրում է ավելի քան 15 հոդված։ Համալսարանն ավարտելուց հետո, 1928-1931 թվականներին Վ.Համբարձումյանն ուսանել է Պուլկովոյի աստղադիտարանի ասպիրանտուրայում՝ ակադեմիկոս Ա․ Բելոպորսկու ղեկավարությամբ։ 1934 թվականին Լենինգրադի համալսարանում չորս տարի աշխատելուց հետո, Համբարձումյանը հիմնադրում և ղեկավարում է ԽՍՀՄ առաջին աստղաֆիզիկայի ամբիոնը։

Վիկտոր Համբարձումյանի աշխատությունները, աշխատանքները, գիտական հոդվածների վերնագրերը, մանկավարժական աշխատանքը:

1935 թվականին Համբարձումյանին շնորհվում է ֆիզմաթ գիտությունների դոկտորի աստիճան՝ առանց ատենախոսության պաշտպանության, ինչը նրա գիտական մեծ հեղինակության և համաշխարհային համբավի և վաստակի արդյունքն էր։

1939 թվականին ընտրվում է ԽՍՀՄ ԳԱ թղթակից-անդամ, և նշանակվում համալսարանի պրոռեկտոր՝ գիտակազմակերպչական աշխատանքների գծով։ 1943 թվականին հիմնադրվում է Հայկական ԽՍՀ գիտությունների ակադեմիան, Վ. Համբարձումյանն ընտրվում է փոխնախագահ։ 1947 թվականից Երևանի համալսարանի պրոֆեսոր էր։ 1947 թվականին ընտրվում է Հայաստանի գիտությունների ակադեմիայի նախագահ՝ փոխարինելով Հովսեփ Օրբելուն։ Այդ պաշտոնում վերընտրվում է մինչև 1993 թվականին։

1947 թվականին հրատարակում է իր հայտնի աշխատանքը՝ «Աստղերի էվոլյուցիան և աստղաֆիզիկան», որում ապացուցում է, որ իր հայտնագործած աստղային համակարգերը՝ աստղասփյուռները, կազմված են միանման աստղերից, և դրանով է պայմանավորված նմանատիպ աստղերի բարձր խտությունը։ Համբարձումյանի ստացած արդյունքներով աստղասփյուռների տարիքը չէր կարող գերազանցել մի քանի տասնյակ միլիոն տարին։ Եզրակացվեց նաև, որ նույն աստղասփյուռի բոլոր աստղերը առաջացել են միասին։ Դրանով իսկ ապացուցվեց, որ մեր Գալակտիկայում աստղառաջացման պրոցեսը շարունակվում է, և ծեր աստղերի հետ միասին գոյություն ունեն նաև երիտասարդ աստղեր։ Այս աշխատանքի համար Վ.Համբարձումյանը 1950 թվականին արժանացավ պետական մրցանակի։

1948-1955 թվականներին եղել է Միջազգային աստղադիտական միության փոխնախագահ, 1961-1964 թվականներին՝ նախագահ, 1968-1972 թվականներին՝ Գիտական ընկերությունների միջազգային խորհրդի նախագահ։

1953 թվականին Վ. Համբարձումյանն ընտրվում ԽՍՀՄ ԳԱ ակադեմիկոս։

1966 թվականին Բյուրականի աստղադիտարանում կազմակերպվեց միջազգային աստղագիտական միության 29-րդ ժողովը, ինչը վկայում է Բյուրականի աստղադիտարանում իրականացվող հետազոտությունների կարևորության մասին։

Մինչև կյանքի վերջը Վ. Համբարձումյանը համոզված էր, որ մեր ժամանակներում նույնպես գալակտիկաներ են ծնվում։

Վ. Համբարձումյանը աշխարհի ավելի քան 30 ազգային ակադեմիաների և միջազգային կազմակերպությունների պատվավոր անդամ էր, իսկ 1958-61 թվականներին գլխավորել է միջազգային աստղագիտական ընկերությունը։ Նա երկու անգամ ընտրվել է Գիտական միությունների համաշխարհային խորհրդի նախագահ (1966-72 թվականներ)։

1993 թվականին դառնում է Հայաստանի գիտությունների ակադեմիայի պատվավոր նախագահ։

1994 թվականին արժանացել է Հայաստանի ազգային հերոսի կոչման։

Մահացել է 1996 թվականի օգոստոսի 12-ին Բյուրականում։ Թաղված է Բյուրականի աստղադիտարանի 2,6 մ աստղադիտակից ոչ հեռու՝ Համբարձումյանների ընտանեկան գերեզմանատանը։ Նրա առանձնատունն այժմ մեծ գիտնականի տուն-թանգարանն է, իսկ Բյուրականի աստղադիտարանը 1998 թվականից կրում է իր հիմնադրի անունը։

Առաջադրանքներ

1) Տրված a, b, c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում.

ա) a=2, b=-4, c=11;
2x-4y+11=0

բ) a=-2, b=5, c=14;
-2x+5y+14=0

գ) a=7, b=8, c=-9;
7x+8y+-9=0

դ) a=-15, b=-11, c=10:
-15-11+10=0

2) Գտեք հավասարման երեք լուծում.

ա) 3x+6y-15=0

բ) 4y-x-5=0;

գ) x-y+9=0:

3) (0;4) թվազույգը հավասարման լուծու՞մ է.

ա) 9x-3y+12=0
Ոչ

բ) 2x+y-7=0
Այո

գ) -x-3y+6=0
Ոչ

դ) 6x-8y16=0:
Այո

4) Տված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով, իսկ x-ը y-ով.

ա) 2x+3y-5=0
2y+3x-5=0

բ) 2x-3y+13=0;
2y-3x+13=0

գ) -x+2y-7=0:
-y+2x-7=0

դ) 6x+36y=42:
6y+36x=42

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

5) Տված հավասարումից x-ը արտահայտեք y-ով.

ա) 3x-y-3=0;
3y-x-3=0

բ) -x-2y-9=0;
-y-2x-9=0

գ) x+3y-12=0;
y+3x-12=0

դ) 5x-3y+3=0:
5y-3x+3=0

6) Արտահայտեք x-ը y-ով.

7) Գտե՛ք տառային արտահայտության արժեքը, եթե a = 7, b = 5.

ա) 3 ⋅ a + 5 ⋅ b, 

բ) 10 ⋅ (a + b) ։ 3, 

գ) (a – b) ⋅ 4 + a ⋅ b,

դ) 95 ։ b + 49 ։ a, 

ե) (a – 7) ⋅ 8 + (b – 5) ⋅ 4,

զ) (a – 7) ⋅ (b – 5)։

 8) Կատարե՛ք գործողությունները՝ թվերը գրի առնելով թվանշաններով, թվաբանական գործողությունները՝ համապատասխան նշաններով.

ա) քառասուներեք ամբողջ յոթ տասներորդին գումարած տասնյոթ ամբողջ ութ տասնհինգերորդ, 

բ) քսան ամբողջ ինը տասնչորսերորդից հանած տասներկու ամբողջ երեք յոթերորդ,

գ) վեց ամբողջ հինգ վեցերորդը բազմապատկած երկու ամբողջ երեք քառորդով,

դ) երեսուն ամբողջ վեց քսանհինգերորդը բաժանած քսան ամբողջ երկու հինգերորդի։

9) 78 զբոսաշրջիկների համար նախապատրաստված էին վեցտեղանոց և չորստեղանոց նավակներ։ Յուրաքանչյուր չափի քանի՞  նավակ կար, եթե բոլոր զբոսաշրջիկները տեղավորվեցին 15 նավակում, և բոլոր տեղերը զբաղեցվեցին։

10) Թատրոնի տոմսարկղում վաճառվել են ներկայացման 156 մանկական և 98 մեծահասակի տոմսեր՝ 90000 դրամ ընդհանուր արժեքով։ Որոշե՛ք տոմսերի գները, եթե մանկական տոմսը մեծահասակի տոմսից 3 անգամ էժան է։

Տեսական նյութ

                               ax+by+c=0                                            (1)

հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ընդ որում a և bթվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ըանհայտներ են, անվանում են x և y երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:

Այդ անվանումը կապված է նրա հետ, որ (1) հավասարման ձախ մասը x և y-ի նկատմամբ առաջին աստիճանի կատարյալ տեսքի բազմանդամ է:

a և bթվերն անվանում են անհայտի գործակիցներ, a թիվը՝ x-իգործակից, իսկ b թիվը՝ y-ի գործակից:

ax, by,c  արտահայտություններնանվանում են (1) հավասարման անդամներ: Ընդ որում c թիվն անվանում են ազատ անդամ:

(x0,y0)թվազույգն անավանում են (1) հավասարման լուծում, եթե այդ թվերը բավարարում են (1) հավասարմանը, այսինքն՝ x-իփոխարեն տեղադրելով x0, իսկ y-ի փոխարեն y0`հավասարումը վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության՝

                                 ax₀+by₀+c=0:

            ax+by+c=0 , որտեղ b հավասար չէ 0                                 (2)

տեսքի ցանկացած հավասարում ունի անթիվ բազմության լուծումներ, որովհետև x-ի համար կարող ենք վերցնել ցանկացած x₀ արժեք, և հավասարումը լուծելով  y անհայտի նկատմամբ կգտնենք 

                            y₀=(-c-ax₀)/b :

(x₀, y₀) թվազույգը կլինի (2) հավասարմանլուծում:

Քանի որ x₀ թվերը անվերջ շատ են, ապա և (2) հավասարման լուծումները անվերջ շատ կլինեն:

x և yերկու անհայտով տված հավասարումից y-ըարատահայտել x-ով՝ նշանակում է լուծել այդ հավասարումը y-ի նկատմամբ ղ-ի ցանկացած տված արժեքի համար:

Օրինակ

                      2x-5y+2=0                    (3)

հավասարումից y-ը արատահայտենք x-ով և գրենքայդ հավասարման բոլոր լուծումները:

Համարենք x-ը կամայական թիվ է, y-ը անհայտն է և լուծենք(3) հավասարումը:

                                          2x+2=5y

                                          5y=2x+2

                                     y=2/5x+2/5                        (4)

Այսպիսով, (3) հավասարման բոլոր լուծումները կլինեն (x;2/5x+2/5) տեսքի, որտեղ x-ը ցանկացած թիվ է:

Դատելով նման կերպ՝ կստանանք, որ 

ax+by+c=0, որտեղ a0տեսքի հավասարումները ունեն անվերջ թվով լուծումներ: Բոլոր այդ լուծումները գրվում են

(-c-by)/a; y) տեսքով, որտեղ y-ը ցանկացած թիվ է:

Տեսական նյութ

Առաջադրանքներ

1) ա) Ո՞ր հավասարումն են անվանում երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում: Բերեք օրինակներ:
 2x-5y+2=0    

բ) Ի՞նչն են անվանում ax+by+c=0 հավասարման լուծում, որտեղ a և b գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի:
Հավհասարման անդամներ

2) Քանի՞ լուծում ունի x-y+1=0 հավասարումը:
Անվերջ

3) Տրված a, b, c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում.

ա) a=5, b=4, c=-2;
x+y+(-2)=7

բ) a=0, b=-3, c=4;
x-y+4=1

գ) a=0, b=2, c=-1;
x+y-(-1)=1

դ) a=-5, b=-1, c=0:
x-y+0=-4

4) Ցույց տվեք, որ (1;-1), (5;-7), (-3; 5) թվազույգերը 3x+2y-1=0 հավասարման լուծումներն են:

5) Գտեք հավասարման երեք լուծում.

ա) x+y-5=0;
3+2-5=0
1+4-5=0
5+0-5=0
բ) y-5=0;
5-5=0
գ) 2x-y+2=0:
x=2
y=6
4-6+2=0
գ) 2x-y+2=0:
x=2
y=6
4-6+2=0

6) (1;3) թվազույգը հավասարման լուծու՞մ է.

ա) 2x-3y+5=0
Ոչ

բ) -x+y-2=0
Այո

գ) x-y-6=0
Այո

դ) 7x-3,2y+4=0:
Ոչ

7) Տված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով.

ա) x+y=5

բ) 2x-y=3;

գ) -3x+2y=7:

դ) -3,5x+2y=0,2:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

8) Տված հավասարումից x-ը արտահայտեք y-ով.

ա) -x+2y-3=0;

բ) -5x-y+7=0;

գ) 2x-0,3y-1=0;

դ) 54x-32y+4=0:

9) Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝

ա) Երկու թվերի գումարը հավասար է 10:
   x+y=10  x=6 y=10-x=4

բ) 2 լ կաթը և 3 բատոն հացը միասին արժեն 990 դրամ:
2x+3y=990  2x=396 y=990 360=630 

գ) Գրիչը մատիտից 700 դրամով թանկ է:

10) a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (3; -2) թվազույգը 3x-ay-4=0 հավասարման լուծում է:

Լուծի՛ր խնդիրները, հնարավորության դեպքում լուծի՛ր՝ կազմելով հավասարումներ:

1)  2100 դրամով կարելի է գնել 5կգ ծիրան և 3կգ խնձոր, իսկ 2900 դրամով՝ 7կգ ծիրան և 5կգ խնձոր: Ի՞նչ արժե 1 կգ ծիրանը և 1 կգ խնձորը:
800դրամով կարելի է գնել 2 կգ ծիրան և 1 կգ խնձոր:
1 կգ ծիրան — 300դրամ
1 կգ խնձոր — 200դրամ

2) Երկու թվերի գումարը 35 է, իսկ առաջին թվի կրկնապատիկի և երկրորդ թվի եռապատիկի գումարը՝ 92: Գտեք այդ թվերը:
x + y = 35
2x + 3y = 92
x + 2y = 57
y = 22
x = 13

3)  Երեք պարկերում միասին կա 186կգ ցորեն: Եթե առաջին պարկից 8կգ լցնենք երկրորդի մեջ,իսկ երկրորդից 3կգ՝ երրորդի մեջ, ապա երեք պարկերում կլինի հավասար քանակությամբ ցորեն: Քանի՞ կգ ցորեն կա յուրաքանչյուր պարկում:
186:3=62
62+8-5=57
62-3=59

4) Մի թիվ 5 անգամ մեծ է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 42 է:
x + 5x = 42
x = 7

5) Մի թիվ 4 անգամ մեծ է մյուսից, իսկ նրանց տարբերությունը 39 է:
x — 4x = 39
x = 13

6) Եղբայրը գտավ 3 անգամ շատ սպիտակ սունկ, քան քույրը: Միասին նրանք գտել են 24 սպիտակ սունկ: Քանի՞ սպիտակ սունկ է գտել եղբայրը, քանիսը՝ քույրը:
x+3x=24
4x=24
x=24:4=6
x=6
3x=6*3=18
Պատ. Եղբայր-18, քույր-6:

7) Երկու դասարանում ընդամենը 63 գիրք կա, ընդ որում՝ մեկում 2 անգամ քիչ գիրք կա, քան մյուսում: Քանի՞ գիրք կա ամեն դասարանում:
x+2x=63
x=21

8) Երկու հոգի 15 000 դրամը պետք է բաժանեին այնպես, որ մեկին մյուսից 4 անգամ շատ հասներ: Քանի՞ դրամ կհասնի յուրաքանչյուրին:
x-մարդ
x4-մարդ 2
x4+x=15000

9) Կոնֆետի համար վճարել են 3 անգամ ավելի կամ 600 դրամով ավելի, քան թխվածքի համար: Որքա՞ն են վճարել թխվածքի համար:
x + 3x = 600
x = 150

10) Եռանկյան պարագիծը հավասար է 17սմ-ի: Նրա երկու կողմերն իրար հավասար են և յուրաքանչյուրը 1.9սմ-ով երկար է երրորդից: Որքա՞ն է եռանկյան փոքր կողմի երկարությունը:
x+1,9+x+1,9+x =17
3x+3,8=17
3x=17-3,8

3x=13,2
x=4,4
x+1,9=6,4

11) Երկու բանվոր պատրաստեցին 90 մանրակ՝ ընդ որում առաջինը 8 մանրակ պակաս պատրաստեց երկրորդից: Քանի՞ մանրակ պատրաստեց երկրորդ բանվորը:
x+x-8=90
2x=98
x=98/2=49

12) Գործարանի երեք արտադրամասում աշխատում է 1130 մարդ: Երկրորդ արտադրամասում 70 մարդ ավելի է աշխատում, քան առաջինում, իսկ երրորդում՝ 84 մարդ ավելի, քան երկրորդում: Քանի՞ մարդ է աշխատում երրորդ արտադրամասում:
1=x
2=x+70
3=x+70+84
x+x+70+x+154=1130
154+70=224
1130-224=906
906:3=302
1=302
2=372
3=456

13) Ճանապարհով ընթանում են երկու ավտոմեքենա՝ նույն արագությամբ: Եթե առաջինն արագությունը մեծացնի 10 կմ/ժ-ով, իսկ երկրորդը փոքրացնի 10 կմ/ժ-ով, ապա առաջինը վեց ժամում կանցնի այնքան ճանապարհ, որքան երկրորդը 8 ժամում: Ի՞նչ արագությամբ են ընթանում ավտոմեքենաները:
x-10
x+10
8(x-10)=6(x+10)
1=80կմ
2=60կմ
14) Մի ավազանում կա 480լ ջուր, իսկ մյուսում՝ 1460լ: Յուրաքանչյուր ժամում առաջին ավազան է լցվում 80լ ջուր, իսկ երկրորդից յուրաքանչյուր ժամում դատարկվում է 60լ ջուր: Որքա՞ն ժամանակ հետո ավազանների ջուրը կհավասարվի:
480+80*x=1460-60*x
80x+60x=1460-480
140x=980
x=7 ժամ

15) Երեք արկողում միասին կա 84 գնդակ: Եթե առաջին արկղից հանենք 5 գնդակ, երկրորդից՝ 9 գնդակ, իսկ երրորդից՝ 4 գնդակ, ապա բոլոր արկղերում կմնան հավասար քանակությամբ գնդակներ: Սկզբում քանի՞ գնդակ կար յուրաքանչյուր արկղում:
84-5-9-4=66
66:3=22
22+5=27
22+9=31
22+4=26

16) Հայրը որդուց մեծ է 7 անգամ: 5 տարի հետո նա որդուց մեծ կլինի 4 անգամ: Քանի՞ տարեկան է հայրը:
Որդի — x = 5
Հայրը — 7x + 5 = 4 (x+5)
7x + 5 = 4x + 20
7x-4x = 20 — 5
3x = 15
x = 5 (որդու տարիք)
5*7 = 35 (հոր տարիք)
5+5 = 10 (որդու տարիքը հինգ տարի հետո)
35 + 5 = 40 (հոր տարիքը հինգ տարի հետո)
Պատ․՝40 տարեկան։

17) Լուծել հավասարումը.

ա) x + 3 = 2x − 4,

 բ) 2x − 4 = 7x + 2,

գ) x + 4 = x + 2,

դ) 2x − 6 = 3x;

ե) 5x = 6x; 

զ) 2x + 5 − 7x + 2 = 3;

է) 3x − 5 = −2x + 7 + 5x − 12;

ը) x − 1 + 3x − 5 = (x − 5) − (x − 3) + (x + 1):