Рубрика: Հանրահաշիվ

Հանրահաշիվ․ Տարբերության քառակուսին

Տեսական նյութ

Հետևյալ ակնհայտ հավասարություններից՝

(a-b)2=(a-b)(a-b)=aa-ba-ab+bb=a2-2ab+b2 ստանում ենք՝

              (a+b)2=a2+2ab+b2

           (a-b)2=a2-2ab+b2

Այս հավասարությունը անվանում են տարբերության քառակուս բանաձև:

Այս բանաձևը նույնպես հաճախ կիրառվում է հաշվարկների պարզեցման համար, օրինակ՝
412=(40+1)2=1600+80+1=1681

492=(50-1)2=502-2501+12=2401:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Բարձացրեք քառակուսի.

1. (a-b)2=a2-2ab+b2;

2. (x-4)2=(x)2-2*x*4+(4)2=x2-8x+16;

3. (1-m)2=(1)2-2*1*m+(m)2=1-2m+m2;

4. (6-p)2=(6)2-2*6*p+(p)2=36-12p+p2;

5. (2a-3)2=(2a)2-2*2a*3+(3)2=4a2-12a+9;

6. (4x-2y)2= (4x)2-2*4x*2y+(2y)2=16x2-16xy+4y2;

7. (a-b2)2=(a)2-2*a*b2+(b2)2=a2-2ab2+b4;

8. (x3-y)2= (x3)2-2*x3n2+(n2)2=x6-2x3n2+n4;

9. (m3-n2)2= (m3)2-2*m3*n2+(n2)2=m6-2m3n2+n4;

10. (a3-2b)2= (a3)2-2*a3*2b+(2b)2= a6-4a3b+4b2;

2) Օգտագործելով տարբերության քառակուսու բանաձևը՝ հաշվեք.

ա) 592=(60-1)2=3600-120+1=3481

բ) 892=(90-1)2=8100-180+1=1921

գ) 1992=(200-1)2=40000-400+1=39601

դ) 1982=(200-2)2=40000-800+4=39204

3) Բազմանդամը ներկայացրեք տարբերության քառակուսու տեսքով.

ա) a2-2ab+b2=(a)2-2ab+(b)2=(a-b)2

բ) 4x2-4xy+y2= (2x)2-4xy+(y)2=(2x-y)2

գ) 9m2-6m+1= (3m)2-6m+(1)2=(3m-1)2

դ) 25-30c+9c2= (5)2-30c+(3c)2=(5-3c)2

Հանրահաշիվ․ Գումարի քառակուսին

1. Գումարի քառակուսին

Տեսական նյութ

Ըստ սահմանման`

                     (a+b)2=(a+b)(a+b)

Օգտվելով բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու կանոնից՝ ստանում ենք՝

(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2:

Այսպիսով՝ 

          (a+b)2=a2+2ab+b2

հավասարությունն անվանում են գումարի քառակուսու բանաձև:

Գումարի քառակուսու բանաձևը հաճախ կիրառվում է հաշվարկների պարզեցման համար, օրինակ՝

512=(50+1)2=502+2501+12=2601:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Բարձրացրեք քառակուսի.

1. (m+a)2= m2+2ma+a2;

2. (2+b)2=(22)+2*2b+(b)2=4+4b+b2;

3. (2x+5)2= (2x)2+2*2×5+(5)2=4x2+20x+25;

4. (z+t)2=(z)2+2zt+(t)2=z2+2zt+t2;

5. (x+2)2=(x)2+2x*2+(2)2=x2+4x+4;

6. (a2+1)2= (a2)2+2*a2*1+12=a4+2a2+1;

7. (c+1)2= c2+2c1+12=c2+2c+1;

2)  Հաշվեք՝ կիրառելով գումարի քառակուսու բանաձևը.

ա) 512= (50+1)2=(50)2+2*50*1+12=2500+100+1=2601
բ)  712=(70+1)2=(70)2+2*70*1+12=4900+140+1=5041
գ) 212=(20+1)2=(20)2+2*20*1+12=400+40+1=441
դ) 1022=(100+2)2=(100)2+2*100*2+(2)2=10000+400+4=10404

3) Բարձրացրեք քառակուսի.

1.  (x+y2)2=(x)2+2xy2+(y2)2=x2+2xy2+y4;

2. (1+a3)2=(1)2+2*1*(a3)2=1+2a3+a6;

3. (x+9)2= (x)2+2*x*9+(9)2=x2+18x+81;

4. (x11+y10)2=(x/11)2+2*x/11*y/10+(y/10)2=x2/121+xy/55+y2/100;

5. (3+6y)2=(3)2+2*3*6y+(6y)2=6+36y+36y2

6. (b+2a)2=(b)2+2*b*2a+(2a)2=b2+4ba+4a2;

7. (k+6p)2=(k)2+2*k*6p+(6p)2=k2+12kp+36p2;

8. (a3x+x2a)2=(a3x)2+2*a3x*x2a+(x2a)2=a6x2+2a4x3+x4a2;

4) Բազամանդամը ներկայացրեք գումարի քառակուսու տեսքով.

1) x2+2xy+y2=(x)2+2xy+(y)2=(x+y)2
2) a2+4ab+4b2=(a)2+4ab+(2b)2=(a+2b)2
3)9m2+6mn+n2=(3m)2+6mn+(n)2=(3m+n)2
4)16p2+40pq+25q2=(4p)2+40pq+(5q)2=(4p+5q)2
5)x2+2x+1=(x)2+2x+(1)1=(x+1)2
6)9+6a+a2=(3)2+6a+(a)2=(3+a)2
7)16+8p+p2=(4)2+8p+(p)2=(4+p)2
8)4m2+9n2+12mn=(2m)2+(3n)2+(2mn)=(2m+3n)2
9)x4+2x2y3+y6=(x2)2+2x2y3+(y3)2=(x2+y3)2
10)a6+2a3b3+b6=(a3)2+2a3b3+(b3)2=(a3+b3)2

Հանրահաշիվ․ Գումարի քառակուսին

1. Գումարի քառակուսին

Տեսական նյութ

Ըստ սահմանման`

                     (a+b)2=(a+b)(a+b)

Օգտվելով բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու կանոնից՝ ստանում ենք՝

(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2:

Այսպիսով՝ 

          (a+b)2=a2+2ab+b2

հավասարությունն անվանում են գումարի քառակուսու բանաձև:

Գումարի քառակուսու բանաձևը հաճախ կիրառվում է հաշվարկների պարզեցման համար, օրինակ՝

512=(50+1)2=502+2501+12=2601:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Բարձրացրեք քառակուսի.

1. (m+a)2= m2+2ma+a2

2. (2+b)2=22+2*2b+b2=4+4b+b2

3. (2x+5)2

4. (z+t)2

5. (x+2)2

6. (a2+1)2

7. (c+1)2

2)  Հաշվեք՝ կիրառելով գումարի քառակուսու բանաձևը.

ա) 512       գ) 212

բ)  712        դ) 1022:

3) Բարձրացրեք քառակուսի.

1.  (x+y2)2

2. (1+a3)2

3. (x+9)2

4. (x11+y10)2

5. (3+6y)2

6. (b+2a)2

7. (k+6p)2

8. (a3x+x2a)2

4) Բազամանդամը ներկայացրեք գումարի քառակուսու տեսքով.

Հանրահաշիվ․Ձևափոխել, կրճատել կոտորակները: Կրկնողություն

ա) 2a/a2-9+3/a-3=2a/(a+3)(a-3)+3*(a+3)=2a+3a+9/(a+3)(a-3)=5a+9/a2-9;
բ)5/m-n-4n/m2-n2=5/m-n-4n/(m-n)(m+n)=5*(m+n)-4n/(m-n)(m+n)=5m+5n-4n=(m-n)(m+n)=5m+n/(m-n)(m+n)= 5m+n/(m-n)(m+n);
գ) x/4-9x2+1/3x+2=x/(2-3x)(2-3x)+1/2+3x=x+2+3x/(2-3x)(2+3x)=2-2x/(2-3x)(2+3x);
դ)1/2p-4q-q/4q2-p2=1/2(p+2q)-q/(2q-p(2q+p)=2q-p-2q/2*(2q-p)(2q+p)=-p/2(2q-p)(2q+p);
ե)1/a2+ab+b2+b/a3-b3=1/a2+ab+b2+b/(a-b)(a2+ab+b2)=a-b+b/(a-b)(a2+ab+b2)=a/(a-b)(a2+ab+b);
զ)m2+n2m3+n3-1/2(m+n)=m2+n2/(m+n)(m2-mn-n2)-1/2(m+n)=2(m2+n2)-(m2-mn+n2)/2(m+n)(m2-mn+n2)=m2+n2+mn/2(m+n)(m2-mn+n2);
է)x2-2xy/(x-2y)3+1/2x-x=x(x-2y)/(x-2y)3-1/x-2y=x/(x-2y)2-1/x-2y=x-(x-2y)/(x-2y)2=x-x+2y/(x-2y)2=2y/(x-2y)2;
ը)2(p+q)/p3-q3+3/(p-q(p+q)=2(p+q)=2(p+q)/(p-q)(p2+pq+q2)-3/(p-q)(p+q)=2(p+q)2-3(p2+pq+q2)/(p-q)(p+q)(p2+pq+q2)=2(p2+2pq+q2)-3p2-3pq-3q2=2p2+4pq+2pq2-3pq-3q2/(p-q)(p-q)(p2+pq+p2=-p2+pq+q2/(p-q)(p-q)(p2+pq+q2);

3. Կրճատեք կոտորկաները.

1)15a/20b=3a/4b
2)ab/ac=b/c
3)6xy/8x=3y/4
4)10mn/15mp=2n/3p
5)8ax/16ay=1x/2y
6)2a2/3ab=2a3b
7)24m3/16m2n=3m/2n
8)m4/m7=m-3
9)60ac/24ac2=5/2c
10)6a2b2/8a3b4=3/4ab2
11)5x2y/10x3y=1/2x
12)16p4q3/36p6q=4p2/9p2
13)63x2y3/77xy4=9x/11y
14) 3x8y5/130x4y6= 3x4/10y
15) 20a3b4c3/48a4b7c6=5/12ab3c3
16)36a4b8c5/30a7b4c3= b64c2/5a3
17)270a10b9c7/405a8b12c14=54a2/81b3c7=6a2/9b3c7=2a2/3b3c7
18)132x5y10z11/144x6y5z20= 33y5/36xz9=11y5/12xz9
19) 540x9y12z7/1296x18y15z4=135z3/324x9y3=15z3/36x9y3=5z3/12x9y2
20)1080a11b7c15/1008a10b14c16=135a/126b7c=45a/42b7c=15a/14b7c
21)a2/ak=a2-k
22)b3/bn=b3-n
23)x4/x

Հանրահաշիվ․ Հանրահաշվական կոտորակներ: Կրկնողություն

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1. Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի.

ա) 1/a+1/b=b+a/a*b
բ)2/x-3-y=2y-3x/xy
գ)x/a+y/b=xb+ay/a*b
դ)5a/7-b/x=5ax+7b/7x
ե)2/2a-1/3=6a/3-2a

2. A միանդամն ընտրեք այնպես, որ հավասարությունը ճիշտ լինի՝

Լրացուցիչ(տանը)

3. Կատարեք գործողությունները.

4. Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի.

Հավելյալ խնդիրներ (տանը)

Հանրահաշվական կոտորակներ և նրանց հատկությունները

Տեսական նյութ

Ինչպես գիտենք երկու բազմանդամների գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը կրկին բազմանդամ են, իսկ ի՞նչ է իրենից ներկայացնում բազմանդամների քանորդը:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Կիրառելով հանրահաշվական կոտորակների հատկությունները՝ տրված հանրահաշվական կոտորակը գրեք բազմանդամի տեսքով՝

ա) x-1/1=x-1
բ) 3x+y=3x+y
գ)x2+3xy-y2/1=x2+3xy-y2
դ) x2-xy+y2/1=x2-2xy+y2
ե)(x-y)6x/3x=2*(x-y)=2x-2y
զ)15(x+y)/5=3*(x+y)=3x+3y
է)x2+2xy+y2/x+y=x+y;
ը)x2-4xy+4y2/x-2y=x-2y;

2)

1/20y=1*x2/20y*x2=x2/20x2y
20x2y/20y=x2

5/x2=5*20y/x2*20y=100y/20x2y
20x2y/x2=20y

7/20=7*x2y/20*x2y=7x2y/20x2y
20x2y/20=x2y

11/2x=11*10xy/2x*10xy=110xy/20x2y
20x2y/2x=10xy

3/5xy=3*4x/5xy*4x=12x2y
20x2y/5xy=4x

3) Կրճատեք կոտորակը.

ա) 2((x+y)/4ax= x+y/2ax;
բ) a+b/a+b=1;
գ) 2(x-1)/5*(x-1)=;2/5;
դ) 3a(a-b)2 / 6a(a-b)2=1/2;
զ)25m2n(a-b)/35mn2(a-b)2=5m/7n(a-b);
է) 2p(p-q)(p2+q2)/4q(p-q)(p2+q2)=p/2q
ը)8a(a+b)2(a-b)/18a(a-b)(a+b)=4*(a+b)/9

Լրացուցիչ(տանը)

3) Կրճատեք կոտորակը.

ա) 4/8=1/2
բ) 8/12=2/3
գ) 45/210=3/14
դ) 256/924=64/231
ե)2a/6=a/3
զ) 14a/21ab=2/3b
է)x5/x7=1/x2
ը) 8m3n/12m2=2mn/3
թ)24a5b6c/36a7b4c=2b2/3a2
ժ) 48x3y4z3/56xy5z4= 6x2/ 7yz

4)

5/36=5x2/36x2
3x2/36=x2

2/x2=2*36/36*x2=72/36x2
36x2/x2=36

11/3x=11*12x=132x/36x2
36x2/3x=12x

7/9x2=7*4/9x2*4=28/36x2
36x2/9x2=4

1/4x=1*9x/4x*9x=9x/36x2
36x2/4=9x

5) A միանդամը կամ բազմանդամն ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն՝

ա) 4a/6a2
a=
բ)
գ)
դ)

Հավելյալ խնդիրներ

6) Արույրը 60 % պղնձի և 40 % ցինկի համաձուլվածք է։ Արույր պատրաստելուհամար վառարանի մեջ դրել են ցինկ և 210 կգ պղինձ։ Որքա՞ն ցինկ են դրել վառարանի մեջ։ Որքա՞ն արույր կստացվի։

7) Քաղաքից դուրս եկավ մի մեքենա, որի արագությունը 80 կմ/ժ էր։ Հետո նրա հետևից շարժվեց մեկ ուրիշ մեքենա, որի արագությունը 90 կմ/ժ էր։ Քաղաքից դուրս գալուց ինչքա՞ն ժամանակ անց երկրորդ մեքենան առաջինից 20 կմ առաջ անցած կլինի։

8) Առաջին փականագործին 120 մանրակ պատրաստելու համար պետք է 3 ժամ, իսկ երկրորդին՝ երկու անգամ ավելի։ Ինչքա՞ն ժամանակում փականագործները, աշխատելով միասին, կպատրաստեն 600 մանրակ։

Նախագծային աշխատանք
Նախագծային աշխատանքը հրապարակիր առանձին նյութով հղումը ուղարկիր l.nersesyan@mskh.am.

Դոմինոյի քարերով պատրաստված է այսպիսի քառակուսի ,որի յուրաքանչյուր կողմի կետերի գումարը հավասար է 9 ։

Կարո՞ղ եք պատրաստել յոթ նման քառակուսիներ՝ օգտագործելով բոլոր 28 դոմինոները, որպեսզի յուրաքանչյուր քառակուսի ունենա նույն կետային գումարը յուրաքանչյուր կողմի համար: Պարտադիր չէ, որ յուրաքանչյուր քառակուսի ունենա նույն գումարը, ինչ մյուսը:

Հանրահաշիվ․Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Հաշվեք.

ա)=1
բ)=1
գ)=1
դ)=1
ե) =35-3
զ)= 1
է)=(-0,3)-1
ը)=0,22
2) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով.

ա)= 23
բ)=28
գ)=(1/3)2
դ =22
ե) =(1/3)1
զ) =(1/3)4
է) =51
ը) =(1/4)2
թ) =?
ժ) =20
ի) =92
լ) -?
խ) -?

3) Խնդիրներ
ա. 30% -անոց սպիրտի լուծույթը պարունակում է 56 գ ջուր: Գտե՛ք լուծույթի կշիռը:

բ. 35% -անոց աղի լուծույթը 39 կգ ջուր: Գտե՛ք լուծույթի կշիռը:

գ. 25%-անոց սպիրտի լուծույթը պարունակում է 30գ սպիրտ: Գտե՛ք լուծույթի կշիռը:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

4) Հաշվեք.

5) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով,

ա) =a7
բ)= a5
գ) =a7
դ)= a11
ե) =a24
զ)=a10
է)=(ab)7
ը)= -?

6) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով,

Հավելյալ խնդիրներ

Հանրահաշիվ

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով, եթե

ա) 27
բ) 57
գ) 46
դ)78
ե)315
զ) 613
Է)116
ը)916

2) Ներկայացրեք քառակուսու տեսքով.

ա) a10=(a5)2
բ) a20=(a10) 2
գ)a50=(a25) 2

3) Ներկայացրեք a2 հիմքով աստիճանի տեսքով՝

Լրացուցիչ առաջադրանքներ(տանը)

4) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով, եթե

5) Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

6) a50-ը ներկայացրեք տվյալ հիմքով աստիճանի տեսքով

7) Համեմատեք՝

Հավելյալ խնդիրներ

Հանրահաշիվ․ Լուծույթներ: Խնդիրներ լուծույթների վերաբերյալ

  1. Ի՞նչ է լուծույթը: Ի՞նչ է համաձուլվածքը: Ո՞րն է դրանց տարբերությունը:
    Լուծույթն այն համասեռ համակարգն է, որը բաղկացած է լուծիչից, լուծված նյութից և դրանց փոխազդեցության արգասիքներից:
    Համաձուլվածքները 2 և ավելի մետաղներից, ինչպես նաև մետաղներից ու ոչ մետաղներից (ածխածին, սիլիցիում, բոր և այլն) բաղկացած նյութեր են:
  2. Քանի՞ կիլոգրամ մաքուր սպիրտ և քանի՞ կիլոգրամ ջուր է պարունակում  30 կգ 40 տոկոսանոց սպիրտի լուծույթը:
    30կգ 40%
    1%=1/100
    40%=40/100
    30*40/100=12կգ (սպիրտ)
    30-12=18կգ (ջուր)
    Պատ․՝ 18կգ ջուր։
  3. Քանի՞ կիլոգրամ աղ և քանի՞ կիլոգրամ ջուր է պարունակում   25 կգ 24 տոկոսանոց աղի լուծույթը:
    25*24/100=6
    25-6=19
    Պատ․ ՝ 6կգ աղ, 19կգ ջուր
    Քանի՞ տոկոսանոց սպիրտի լուծույթ կստացվի, եթե 8կգ մաքուր սպիրտը խառնենք 12 կգ թորած ջրի հետ:
    8+12=20կգ
    20*x:100=8
    x=40
    20գ-40%
  4. Քանի՞ տոկոսանոց աղի լուծույթ կստացվի, եթե 40գ մաքուր աղը խառնենք 120գ ջրի հետ:
    40+120=100
    40/160*100=25%
    75% ջուր
  5. 8 կգ ներկում նարնջագույն գույնի պիգմենտը կազմում է 6%: Որքա՞ն սպիտակ ներկ է պետք խառնել ներկին, որպեսզի խառնուրդում նարնջագույն պիգմենտը լինի 4%:
    5*(8+x)*4/100=8*6/100

    Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տնային)
  6. 30 տոկոսանոց սպիրտի լուծույթը պարունակում է 56գ ջուր: Գտե՛ք լուծույթի կշիռը:
    70% = 56 գ ջուր
    30% = X
    X = 56 :  7 x 3
    24 + 56 = 80
    Պատ․՝ 80 գ։
  7. 25 տոկոսանոց սպիրտի լուծույթը պարունակում է 30գ սպիրտ: Գտե՛ք լուծույթի կշիռը
    25 : 5 = 5
    30 : 5 = 6
    75 : 5 = 15
    6 x 15 = 90
    30 + 90 = 120
    Պատ․՝ 120գ։
  8. Քանի՞ տոկոսանոց սպիրտի լուծույթ կստացվի, եթե 120 գ 20 տոկոսանոց սպիրտի լուծույթին ավելացնենք  8 գ մաքուր սպիրտ:
    8+120=128
    120-20%
    128-x
    x=120*20:100
    x=24%
  9. Քանի՞ տոկոսանոց սպիրտի լուծույթ կստացվի, եթե 80գ 25 տոկոսանոց սպիրտի լուծույթին ավելացնենք  45գ թորած ջուր:
    80+45=125
    80-25%
    125-x
    80*25:100=20
    x=40%

Создайте подобный сайт на WordPress.com
Начало работы