Рубрика: Հանրահաշիվ

2. Գտեք ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = 3x — 7
D(f) = R
դ) y = 3×2 — 6x + 1
D(f) = R
զ) y = 4/x — 1 + 2
x — 1 ≠ 0
x ≠ 1
D(f) = (-∞; 1)∪(1; ∞)

3. Գտեք ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = |x — 2|
D(f) = R
դ) y = x² — 1/x + 1
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1
D(f) = (-∞; 1)∪(-1; ∞)
զ) y = 5/|x| — 2
|x| ≠ 2
x ≠ 2, -2
D(f) = (-∞; 2)∪(-2; 2)∪(2; +∞)

4. Գտեք ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = √x + 1
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
D(f) = (-1; ∞)
դ) y = x²— 9/x² — 4
x² — 4 ≥ 0
x² ≥ 4
x = 2, -2
D(f) = (-∞; 2]∪[2; +∞)
զ) y = x² + x/x + 4
x + 4 ≠ 0
x ≠ -4
D(f) = (-∞; 4)∪(-4; ∞)

5. Գտեք ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը․

բ) y = 3x + 2, x,[-4; 0]
y(-4) = 3 ∙ (-4) + 2 = -12 + = -10
y(0) = 3 ∙ 0 + 2 = 2
E(f) = [-10; 2]
դ) y = |x| — 1, x ∈ [2; 2]
y (-2) = |-2| — 1 = -1
y (2) = |2| — 1 = 2 — 1 = 1
D(f) = [-1; 1]

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԵՌԱՆԴԱՄ

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a-ն, b-ն և c-ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝ 3x²+10x-15, x²-13x+1, -2x²+4x, 2x²-18, 25x², -x² բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝ x²-ու գործակից, b թիվը՝ միջին կամ x-ի գործակից, c-ն՝ ազատ անդամ:

Լրիվ կոչվում է այնպիսի քառակուսային եռանդամը, որի բոլոր գործակիցները տարբեր են 0-ից։

Թերի կոչվում է այն քառակուսային եռանդամը, որտեղ b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է իսկ a-ն, b-ն և c-ն գործակիցներ և a≠0, անվանում են քառակուսային կամ քառակուսի հավասարում, x փոփոխականի այն արժեքները որոնց դեքում քառակուսային հավասարումը ունի լուծում կանվանենք արմատներ:

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Եթե D>0, ապա քառակուսային հավասարումը ունի երկու իրարից տարբեր արմատներ և վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների:

Եթե D=0, ապա քառակուսային հավասարումը ունի մեկ արմատ, իսկ քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների:

Եթե D<0, ապա քառակուսային հավասարումը չունի արմատ թվերի իրական բազմությանը պատկանող, իսկ քառակուսային եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝ (որտեղ D=b²−4ac):

x₁=(−b+√D)/2a

x₂=(-b−√D)/2a

D=b²−4ac

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

Տեսական մասը կարդա՛ նաև «Իմ դպրոց» կայքում.

1.	Արմատի հատկությունները
2.	Արմատներով արտահայտություններ

Թեորեմ: Դիցուք a-ն և b-ն ցանկացած ոչ բացասական թվեր են, իսկ c-ն դրական թիվ: Այդ դեպքում

Թեորեմ Ցանկացած a իրական թվի համար ճիշտ է  հավասարությունը:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1. 1) ա)√4²=|4|=4
   բ)√3,1²=|3,1|=3,1
   գ) √(-1)²=|1|=1
   դ)√(-5)²=|5|=5
   ե)√1,13²=|1,13|=1,3
   զ)√(-7,2)²=|7,2|=7,2
   է)√(-0,3)²=|0,3|=0,3
   ը)√(-57,1)²=|57,1)=57,1
   
   2) ա) √a², եթե a>0
   √a²=|a|=a
   բ)√b², եթե b<0
   √b²=|b|=-b
   գ)√m², եթե m=0
   √m²=|m|=0
   դ)√n², եթե n<o
   √n²=|n|=-a
   ե)√(x+1)², եթե x+1>0
2. √(x+1)²=|x+1|=x+1
   զ) √(m-2)², եթե m-2>0
   √(m-2)²=|m-2|=m-2
   է)√(3a+1)², եթե 3a+1>0
   √(3a+1)²=|3a+1|=3a+1
   ը)√(p-4)², եթե p-4<0
   √(p-4)²=(p-4)=-|p-4|=-p+4;
   
   3)ա)√12=√4*3=√4*√3=2√3;
   բ)√18=√9*2=√9*√2=3√2;
   գ)√20=√4*5=√4*√5=2√5;
   դ)√24=√4*6=√4*√6=2√6
   ե)√27=√9*3=√9*√3=3√3
   զ)√28=√4*7=√4*√7=2√7
   է)√32=√16*2=√16*√2=4√2
   ը)√45=√9*5=√9*√5=3√5
   թ)√50=√25*2=√25*√2=5√2
   ժ) √72=√32*2=√32*√2=6√2

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

4) ա)√4*9=√4*√9=2*3=6
բ)√9*16=√4*√16=2*4=8
գ)√16*25=√16*√25=4*5=20
դ)√25*49=√25*√49=5*7=35
ե)√25*36*9=√25*√64*√9=5*6*3=90
զ)√49*64*100=√49*√64*√100=7*8*10=560

5)ա)√8*50=√4*2*2*2*25=2*2*5=20;
բ)√27*12=√3*9*4*3=3*2√9=6*3=18;
գ)√18*50=√9*2*25*2=3*5*√4=30;
դ)√32*72=√2*16*36*2=4*6*√4=48;
ե)√40*55*22=√8*5*5*11*2*11=√16*5²*11²=4*5*11=220;
զ)√21*35*15=√7*3*7*5*5*3=√7²*5²*3²=7*5*3=105;
է)√6*30*245=√3*2*15*2*5*49=√3²*2²*7²*5²=210;
ը)√245*27*60=√5*49*9*3*4=√5*7²*3²*3*2²*15=7*3*2*√15²=42*15=630
թ)√242*98=√2*121*2*49=√11²*2²*7²=11*2*7=154

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Հաշվեք՝

ա) 20+√1=2+1=3
բ) 15-√36=15-6=9
գ) √9+√4=3+2=5
դ)√16+√25=4+5=9
ե) √49-√1=7-1=6
զ) √81-√49=9-7=2
է)√100-√36=10-6=4
ը) √144-√121=12-11=1
թ)√0,36+√0,49=0,6+0,7=1,3

2) Ապացուցել, որ

ա)√4>1
(√4)²>(1)²
4>1

բ) √3>1
(√3)²>(1)²
3>1

գ) 2<√5
(2)²<(√5)²
4<5

դ) 1,4<√2
(1,4)²<(√2)²
1,96<2

ե)1,7<√3
(1,7)²<(√3)²
2,89<3

զ) 1,8>√3
(1,8)²>(√3)²
3,24>3

է) 1<√2<2
(1)²<(√2)²<(2)
1<2<4

ը)1<√3<2
(1)²<(√3)²<(2)²
1<3<4

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

3) Հաշվեք՝

ա)2*√81=2*9=18
բ)1/3*√100=1/3*10=10/3=3 1/3
գ)√4*√0,25=4*0,5=2
դ)√0,16*√9=0,4*9=3,6
ե)√0,27։√3=√0,27։3=0,09=0,3
զ)√49:√0,01=70:0,1=70
է)√1/9*√81=1/3*9/1=3/3=3
ը) √0,36:√1/36=0,6:1/6=6/10*6/1=18/5
թ) √1,69:√0,0625=13/100:25/100=13/10*100/25= 26/5

4) Համեմատեք թվերը՝

ա)√100 և √81
√100=10
√81=9
10>9=)√100>√81

բ)√100 և √121
√100=10
√121=11
10<11=)√100<√121
գ) √4 և 3
√4=2
2<3=)√4<3
դ)1/5 և √0,25
√0,25=0,5
1/5=0,2
0,2<0,5=)1/5<√0,25

ե) 2 և√1/16
√1/16=1,4
2>1/4=)2>√1/16

զ) 9/5 և √4/49
√4/49=1/7
9/5>2/7=)9/5>√4/49

է)1/5 և √0,25
√0,25=0,5
1/5=0,2
0,2<0,5=) 1/5<√0,25

ը)√ 2 1/4 և √64/40
√2 1/4= √9/4=3/2
√64/49=8/7
3/2>8/7=) √2 1/4>√64/40
թ) √1/4 և 1/4
√1/4=1/2
1/2>1/4=) √1/4>1/4

5) Հաշվեք՝

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Գտեք քառակուսու կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է՝

ա)s= 25սմ²
a=սմ

բ) s=1մ²,
a=1մ

գ) s=400մմ²,
a=20մմ

դ) s=49 դմ²,
a=7դմ

ե) s=16 կմ²,
a= 4կմ

զ) s=1հա:
a=100մ

2) Գտեք տված թվերի քառակուսի արմատները՝

ա) √10 000=100
բ) √3600= 60
գ) √640 000=800
դ) √1 000 000= 1000
ե) √16=4
զ) √25=5
է) √3025=25
ը) √49=7

3) Պատասխանի՛ր հարցերին՝ հիմնավորելով:

ա) Կարո՞ղ է արդյոք իրական թվի քառակուսին լինել բացասական թիվ:
Պատ․՝ Գոյություն չունի իրական թիվ, որի քառակուսին հավասար կլինի բացասական թվի։

բ) Ի՞նչն են անվանում քառակուսի արմատ տված թվից:
Պատ․՝ քառակուսի արմատ տրված b թվից անվանում են այն թիվը, որի քառակուսին հավասար է b-ի։

գ) Քանի՞ քառակուսի արմատ ունի դրական թիվը, զրոն:
Պատ․՝ գոյություն ունի երկու քառակուսի արմատ ցանկացած b դրական թվից։
b+0-
Պատ․՝ զրոյի քառակուսի արմատը միակն է և այն հավասար է 0-ի։

դ) Գոյություն ունե՞ն արդյոք իրական թվեր, որոնք բացասական թվի քառակուսի արմատ են:
Պատ․՝ քառակուսի արմատ բացասական թվից գոյություն չունի։

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

4) Գտեք թիվ, որի քառակուսին հավասար է՝

ա) 4;
2²=4
(-2)²=4
բ) 100;
10²=100
(-10)²=100
գ) −6 գոյություն չունի
դ) 81
9²=81
(-9)²=81

ե) −0,25; — գոյություն չունի
զ) 0; է) 0,09; ը) 1,21:

5) Ապացուցեք, որ

ա) 11-ը 121-ի քառակուսի արմատ է,
11²=121

բ) -13-ը 169-ի քառակուսի արմատ է,
(-13)²=169

գ) 1,7-ը 2,39-ի քառակուսի արմատ չէ,
1,7² 2,29= չէ 2,39

դ) -0,7-ը -0,49-ի քառակուսի արմատ չէ:
(-0,7)²=0,49 =չէ -0,49

Հավելյան առաջադրանքներ կրկնողության համարշ

6) Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով, եթե a0`

7) Հաշվեք.

Լուծի՛ր խնդիրներն անպայման համակարգերի միջոցով՝ ներմուծելով x և y փոփոխականները.

1) Դպրոցականները էքսկուրսիա գնացին: Նրանք վերադարձան այլ ճանապարհով, որ 7 կմ-ով կարճ էր առաջինից: Որքա՞ն է յուրաքանչյուր ճանապարհի երկարությունը, եթե դպրոցականներն ընդամենը անցան 41 կմ:
Առաջին ճան․ երկ xկմ=
Երկրորդ ճան․ երկ 7կմ-ով պակաս= 41կմ
Լուծում՝
1․ 41-7=34(կմ)
2․ 34։2=17(կմ)(երկրորդ ճանապարհՃ
3․ 17+7=24(կմ)( առաջին ճանապարհ)

2) Դպրոցը ձեռք բերեց 4 բազկաթոռ և 2 սեղան, դրանց համար վճարելով 36 000 դրամ: Եթե գնվեր 2 բազկաթոռ և 3 սեղան, ամբողջ գնումը 14 000 դրամ-ով պակաս կլիներ: Առանձին-առանձին որքա՞ն  արժեն բազկաթոռը և սեղանը:
4 բազկաթոռ=36000դր․
2 տեղան=

2բազկաթոռ
3 սեղան կվճարեր 14000-ով պակաս այսինքն՝ 22000դր․

ենթ․ 1 բազկաթոռը արժի x դ․ | 4բազ․ կլինի 4xդ․
1սեղ y դ | 2սեղ․ 2y դրամ
Հավասար կլինի 4x+2y=36000

1բազ․ արժի xդ | 2բազ․ 2xդ․
1սեղ․ արժի y դ․| 3սեղ 3 yդ

Հավասար կլինի 2x+3y=22000
Կազել հավասարում
4x+2y=36000
2x+3y=22000
4x+6y=44000
4x+2*2000=36000
4x=36000-4000
4x=32000
x=32000/4=8000(դ)
Պատ․՝ բազկաթոռ՝ 8000դ, սեղան 2000 դ

Ենթ․ առաջին x= գում 418=>x+y=418
երկրորդ y=

առաջին x
երկրորդ y/4 218=> x+y/4 =218

Կազմել հավասարում
x+y=428
x+y/4=218
y-y/4=428-218
y-y/4=210
(1-1/4)y=210
y=210:3/4=210/1*4/3=280, y=280
x+y=428
x+280=428
x=428-280=148
Պատ․ ՝ 148։
Հավելյալ առաջադրանքներ

Խորանարդների տարբերությունը

Տեսական նյութ

Ինչպես նախորդ դասում, այստեղ նույնպես նույն դատողությունները կատարելով՝ կստանանք

       a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Այս հավասարությունն անվանում են խորանարդների տարբերության բանաձև: a2+ab+b2 բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի գումարի թերի քառակուսի: Բանաաձով տրվում է a3-b3բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով.

ա) (x-y)(x2+xy+y2)=x³-y³

բ) (5-a)(a2+5a+25)=(5)³-(a)³=125-a³

գ) (2m-5n)(4m2+10mn+25n2)=(2m)³-(5n)³=8m³-125n³

դ) (7p+q)(49p2-7pq+q2)=(7p)³+(q)²=343p³+q²

2) Երկանդամը վերլուծեք արտադրիչների.

ա) m3-1=m3-13=(m-1)(m2+m+1);

բ)  27-x3=(3)³-x³=(3-x)(9+3x+x²);

գ) p3-64q3=(p)³-x³=(p-4q)(p²+4pq+16q²);

դ) x6-8y3=(x²)³-(5)³=(x²-2y)(x⁴+2x²y+4y²);

ե) m12-125=(m⁴)³-(5)³=(m⁴-5)(m⁸+5m⁴+25);

զ) c6p18-1=(c²p⁶)³-(1)³=(c²p⁶-1)(c⁴p¹²+c²p⁶+1);

է) 1000×3-64=(10x)³-(4)³=(10x-4)(100x²+40x+16);

ը) 8c3-y21x9=(2c)³-(y⁷x³)³=(2c-y⁷x³)(4c²+2cy⁷x³+y¹⁴x⁶);

Տեսական նյութ

Կիրառելով բազմանդամների բազմապատկման և նման անդամների միացման կանոնները` ստանում ենք`

(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3:

Այսպիսով` 

    (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

հավասարությունն անվանում են խորանարդների գումարի բանաձև: 

a2-ab+b2 բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի տարբերության թերի քառակուսի:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Արտահայտությունը ներկայացրեք 3 ցուցիչով աստիճանի տեսքով.

ա) 125=5³

բ) 8=2³

գ) 27x³=27x³-3³x³=(3x)³

դ) 64y⁶=4³*(y²)³=(4y²)³

ե) x³y⁶=x³*(y²)³=(xy²)³

զ) 1/8p³=(1/2)³*(p³)=(1/2p)²

2) Արտահայտությունը ներկայացրեք խորանարդների գումարի տեսքով`

ա) x³+8=x³+2³=(x+2)(x²-2x+4);

բ)27+a3=3³+a³=(3+a)9-3a+a³);

գ) 1+m⁶=1³+(m²)³=(1+m²)(1+m²+m⁴);

դ) a⁹+27b³=(a³)³+(3b)³=(a³+3b)(a⁶-3a³b+9b²);

ե) 64p⁹+q¹²=(4p³)³+(q⁴)³=(4p³+q⁴)(16p⁶-4p³q⁴+q⁸);

զ) x¹⁸+8y²¹=(x⁶)³+(2y⁷)³=(x⁶+2y⁷)(x¹²-2x⁶y⁷+4y¹⁴)

3) Երկանդամը վերլուծեք արտադրիչների.

ա) m³+n³=(m+n)(m²-mn+n²)

բ) p⁶+q⁶=(p²)³+(q²)³=(p²+q²)(p⁴-p²q²+q²);

գ) b³+8=(b)³+(2)³=(b+2)(b²-2b+4);

դ) c⁶+125d³=(c²)³+(c²+5d)(c⁴-5c²d+25d²);

ե) 8p⁶+8=(2p²)³+(2)²=(2p²+2)(4p⁴-4p²+4);

զ) 64y3+1=(4y)³+(1)³=(4y+1)(16y²-4y+1);

Դաս 3.

3. Քառակուսիների տարբերությունը

Տեսական նյութ

Դիտարկենք (a-b)(a+b) արտադրյալը:

Կիրառելով բազմանդամների բազմապատկման և նման անդամների միացման կանոնները, կստանանք՝

(a-b)(a+b)=a2+ab-ba-b2=a2-b2:

Այսպիով, ստացվում է՝

                      a2-b2=(a-b)(a+b)

Հավասարությունը կոչվում է քառակուսիների տարբերության բանաձև:

Բանաձևը հաճախ օգտագործում են հաշվարկների պարզեցման համար

4139=(40+1)(40-1)=402-12=1600-1=1599:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Արտահայտությունը ներկայացրեք բազմանդամի տեսքով.

ա) (m+n)(m-n)=m²-n²

բ) (2-p)(p+2)=2²-p²=4-p²

գ) (7+n)(n-7)=n²-7²=n²-49

դ) (a-3b)(a+3b)=a²-(3b)²=a²-9b²

ե) (4y-3z)(4y+3z)=(4y)²-(3z)²=16y²-9z²

զ) (5m+6n)(6n-5m)= (6n)²-(5m)²=36n²-25m²

2) Հաշվեք՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

ա) 61*59=(60+1)(60-1)=(60²)-(1)²=3600-1=3599

բ) 10,2*9,8 =(10+0,2)(10+0,2)=10²-0,2²=100-0,04=99,96

գ) 598*602=(600-2)(600+2)=600²-2²=360000-4=359996

դ) 299*301= (300-1)(300+1)=300²-1²=90000-1=89999

3) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների

ա) x²-y²=(x²-y²)=(x)²-(y)²=(x-y)(y+x);

բ) a²-4=(a²-4)=(a)²-(2)²=(a-2)(a+2);

գ) (2x)²-1= (2x)²-(1)²=(2x-1)(2x+1);

դ) z⁴-16= (z²)²-(4)²=(z²-4)(z²+4);

ե) 9-(3m)²=(3)²-(3m)²=(3-3m)(3+3m);

զ) p⁸-49=(p⁴)²-(7)²=(p⁴-7)(p⁴+7);

է) 25-64x²=(5)²-(8x)²=(5-8x)(5+8x);

ը) 4a²-9b²=(2a)²-(3b)²=(2a-3b)(2a+3b)