Рубрика: Երկրաչափություն

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Ինչպե՞ս են նշանակում.

ա) բնական թվերի բազմությունը
N

բ) ամբողջ թվերի բազմությունը
Z

գ) ռացիոնալ թվերի բազմությունը
Q

դ) իռացիոնալ թվերի բազմությունը
I

ե) իրական թվերի բազմությունը:
R

2) Ճի՞շտ են, արդյոք, հետևյալ գրառումները.

3) Գրառե՛ք

ա) 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը:
,{11; 13,17,19,23, 37, 29,31,37,41.43, 47 }

բ) 40-ից փոքր և 6-ի հետ փոխադարձ պարզ թվերի բազմությունը:

{5;7; 11;13; 17; 19; 23;25;29;31;35;37;}

գ) այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 11-ի բաժանելիս տալիս են 7 մնացորդ:

{18; 29;}

դ) 100-ից փոքր այն զույգ թվերի բազմությունը, որոնք 3-ի բազմապատիկ են:

4) Գտեք x թիվը, եթե

5) A բազմությունն ունի 5 տարր, AUB բազմությունը՝ 12 տարր, իսկ AՈB բազմությունը՝ 2 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:

6) Եղբայրը և քույրը միասին լրացրին ամբողջ խաչբառը, որը պարունակում էր 60 հարց: Եղբայրը գտավ պատասխաններից 38-ը, իսկ երկուսով միասին գտան 12 պատասխան:

ա) Քանի՞ պատասխան գտավ քույրը:

բ) Քանի՞ պատասխան գտավ միայն քույրը:

գ) Քանի՞ պատասխան գտավ միայն եղբայրը:

Առաջադրանքներ (տանը)

7) Նշված բազմություններից ո՞րին է պատկանում 2x+5=4-x հավասարման արմատը.

8) Դիցուք, A-ն 12-ից փոքր և 5-ի վրա չբաժանվող բնական թվերի բազմությունն է, իսկ B-ն՝ 15-ից փոքր և 3-ի վրա բաժանվող բնական թվերի բազմությունը: Գտեք՝

ա) A բազմության տարրերի թիվը:

բ) B բազմության տարրերի թիվը:

գ) Գրառեք AՈB բազմությունը և հաշվեք նրա տարրերի թիվը:

դ) Հաշվեք AUB բազմության տարրերի թիվը:

9) Գտեք x-ը և y-ը, եթե

10) Դասարանի բոլոր 24 աշակերտները ցուցակագրվեցին լողի և շախմատի խմբակներում: Ընդ որում՝ նրանցից 18-ի ազգանունները կան լողի խմբակի ցուցակում, իսկ 15-ի ազգանունները՝ շախմատի խմբակի ցուցակում:

ա) Քանի՞ աշակերտ ցուցակագրվեց և լողի, և շախմատի խմբակներում:

բ) Քանի՞ աշակերտ ցուցակագրվեց միայն լողի խմբակում:

գ) Քանի՞ աշակերտ ցուցակագրվեց միայն շախմատի խմբակում:

Լրացուցիչ առաջադրանք

11) Դասարանի 31 աշակերտից 21-ը ցանկություն է հայտնել սովորել անգլերեն, 18-ը՝ գերմաներեն:

ա) Քանի՞ աշակերտ է ցանկություն հայտնել սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն:

բ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն գերմաներեն:

գ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն անգլերեն:

12) Կոնֆերանսին մասնակցում է 200 գիտնական: Նրանց 85%-ը տիրապետում է անգլերենին, 80%-ը՝ ֆրանսերենին, ընդ որում՝ յուրաքանչյուր մասնակից այդ լեզուներից գոնե մեկին տիրապետում է: Մասնակիցներից քանի՞սն է միաժամանակ տիրապետում երկու լեզուներին:

13) Դասարանի աշակերտներից 20-ը ցանկություն հայտնեց սովորել անգլերեն, 10-ը՝ գերմաներեն, իսկ 3-ը՝ միայն ֆրանսերեն: Միաժամանակ անգլերեն և գերմաներեն սովորելու ցանկություն հայտնեցին 6-ը:

ա) Քանի՞ աշակերտ կա դասարանում:

բ) Քանի՞սը գիտի միայն անգլերեն:

գ) Քանի՞սը գիտի միայն գերմաներեն:

Տեսական նյութ

Ուղղանկյուն եռանկյունը առանձնանում է. նրա մի անկյունը ուղիղ անկյուն է՝ 90⁰ է, իսկ մյուս երկուսը՝ սուր են: Այս եռանկյունների համար էլ տեղի ունի եռանկյունների հավասարության 3 հայտանիշները (վերհիշիր դրանք): Այդ երեք հայտանիշներին ավելանում է ևս մի քանի հայտանիշ ուղղանկյուն եռանկյան համար:

Հ-1. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան ներքնաձիգին և սուր անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք:

Հ-2. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջն ու ներքնաձիգը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի էջին ու ներքնաձիգին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք:

Հ-4. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

Հ-5.

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Լրացնել բաց թողածը.

ա) ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ

բ) ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է  90 ° -ի

գ) ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30⁰-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին

դ) ուղղանկյուն եռանկյան մեծ կողմը դա ներքնաձիգն է:

2) ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյուններից մեկը հավասար է 60⁰: Փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար 30սմ: Գտնել փոքր էջն ու ներքնաձիգը:
a=b:2
3a=30
a=30:3=10
ներքնաձիգ=20
Փոքր էջ=10

3) AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AF կիսորդը և AH բարձրությունը: Գտեք AHF եռանկյան անկյունները, եթե <B=112⁰:

Առաջադրանքներ (տանը)

4) ABC և A₁B₁C₁եռանկյունների մեջ A և A₁անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B₁D₁-ըկիսորդներ են: Ապացուցեք, որ ABC=A₁B₁C₁,եթե <B=<B₁ և  BD=B₁D₁:
Երկրորդ հայտանիշ
B=B1 A=A1 նշանակում է 180-(B+A)=180-(B1+A1) D=D1 նշանակում է BD =B1D1 և <B=<B1, <D=<D1

5)

6)

7)

1) Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 17սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 1սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:
X+x+1=17
2x=17-12

2) CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

3) ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետի և AC ուղղի միջև հեռավորությունը 6սմ է: Գտեք A գագաթի հեռավորությունը BC ուղղից:

Առաջադրանքներ (տանը)

4)

5)

6)

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

7) CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք <ECF-ը, եթե <D=54⁰:

8) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

9) ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե <BMC=140⁰:

10) ABC եռանկյան AA₁ և BB₁ բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք <AMB-ն, եթե <A=55⁰, <B=67⁰:5) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին հանդիպակաց անկյունը 120⁰ է: Սրունքին տարված բարձրությունը 9 սմ է: Գտեք եռանկյան հիմքը:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Լրացնել բաց թողածը.

ա) ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ

բ) ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90 աստիճան

գ) ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30⁰-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգ։2

դ) ուղղանկյուն եռանկյան մեծ կողմը դա ներքնաձիգ է:

2) ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյուններից մեկը հավասար է 60⁰: Փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար 30սմ: Գտնել փոքր էջն ու ներքնաձիգը:
a-90
c=60
b=30
ac+bc=30
ac, bc-?
x+2x=30
3x=30
bc=2x=20սմ
Պատ․՝ 10սմ,20սմ

3) AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AF կիսորդը և AH բարձրությունը: Գտեք AHF եռանկյան անկյունները, եթե <B=112⁰:
<B=112⁰
AB=BC
a=c=180-122/2=34
af-կիսորդ=fac=bap=17⁰
AFB=17⁰+34⁰=51⁰ (արտաքին անկյուն)
AHF-ից
Haf=90⁰-51⁰=39⁰
Պատ․՝39⁰

Առաջադրանքներ (տանը)

4) ABC և A₁B₁C₁եռանկյունների մեջ A և A₁անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B₁D₁-ըկիսորդներ են: Ապացուցեք, որ ABC=A₁B₁C₁,եթե <B=<B₁ և  BD=B₁D₁:

5)

6)

7)

Առաջին տարբերակ

1) Վերհիշի՛ր եռանկյունների հավասարության առաջին, երկրորդ և երրորդ հայտանիշները:
Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:
Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:
Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:
2) Շարունակի՛ր նախադասոթյունները.
ա. Եռանկյան անկյունների գումարը կոչվում է պարագիծ։
բ. Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյունը
գ. Ուղղանկյուն եռանկյան 30⁰ -ի դիմացի էջը հավասար է….
դ. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են
ե. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները 60 աստիճան են

3) Գտնել եռանկյան անկյունները

4) A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել <B-ն:
90+30=120
180-120=160
Պատ. <B=160

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD-ին, իսկ E կետը միացված է C կետին:
ա) Ապացուցե՛ք, որ ABD և ECD եռանկյունները հավասար են; 
ad=de, ACD=56
ABD=40
ABD=SDE 1 հայտանիշ
բ)  Գտե՛ք <ACE-ն, եթե <ACD=56⁰, <ABD=40⁰:
ABD=DCE=40
ACE=DCE+DCE=56+40=96
Պատ՝96

2) A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին  տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են: Ապացուցե՛ք, որ
ա) ABD ևCDB եռանկյունները հավասար են;   
բ) Գտե՛ք <ABC-ն, եթե <ADB=44⁰։

Առառադրանքներ (տանը)

3) Geogebra ծրագրի միջոցով գծագրե՛ք սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ: Օգտվելով կետերի բաժնի գործիքներից՝ նշե՛ք կողմերի միջնակետերը և տարեք եռանկյան միջնագծերը: Նշեք հատման կետը։

4) Geogebra ծրագրի միջոցով գծագրե՛ք gծագրեք սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ: Տարեք նրանց կիսորդները: Ցույց տվե՛ք, որ հատման կետը մեկն է։

5) Geogebra ծրագրի միջոցով գծագրե՛ք gծագրեք սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ: Տարեք նրանց բարձրությունները: Նշե՛ք բարձրությունների հատման կետը։

6) Գծեք a ուղիղ և նրա տարբեր կողմերում նշեք A և B կետեր: Geogebra ծրագրի օգնությամբ այդ կետից տարեք a ուղղին ուղղահայացներ (ծրագրի չորրորդ պատուհանում կա <ուղղահայաց ուղիղ> գործիքը, որի օգնությամբ կարող եք գծել ուղղահայացը, կետից տանել ուղղին ուղղահայաց ուղիղ):

Առաջադրանքներ (տանը)

3) A անկյան կիսորդի վրա D կետը, իսկ կողմերի վրա B և C կետերը նշված են այնպես, որ <ADB=<ADC: Ապացուցել, որ BD=CD:
Այո հավասար են ըստ առաջին հայտանիշի

4)

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) AE և DC հատվածները հատվում են B կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է:

ա) Ապացուցեք, որ ABC և EBD եռանկյունները հավասար են,
Քանի որ B-ն AE-ի և DC-ի միջնակետն է, ապա BD = BC, AB = BE: Որպես հակադիր անկյուններ <DBE = <ABC: => ABC եռանկյան կազմված երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են EBD եռնկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը։ Ըստ եռանկյունիների հավասարության 1֊ին հայտանիշի /\ABC = /\EBD

բ) գտեք ABC եռանկյան A և C անկյունները, եթե BDE եռանկյան մեջ <D=47⁰, <E=42⁰:

2) ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ AB=A1B1, AC=A1C1, <A=<A1: AB և A1B1կողմերի վրա P և P1կետերը նշված են այնպես, որ AP=A1P1:Ապացուցեք, որ BPC=B1P1C1:

ABC և EBD հավասար եռանկյուններում համապատասխանաբար հավասար կողմերն են DB֊ն,BC֊ն,BE-ն,AB-ն։
Հետևաբար որպես համապատասխանաբար կողմերի դիմացի անկյուններ`
<A = <E = 42*
<C = <D = 47*

Առաջադրանքներ(տանը)

3) Նկարում AB=AC, <1=<2:

ա) Ապացուցեք, որ ABD և ACD եռանկյունները հավասար են,

բ) գտեք BD-ն և AB-ն, եթե AC=15սմ, DC=5սմ:

4) ABC եռանկյան պարագիծը 15սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ-ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1սմ-ով: Գտեք եռանկյան կողմերը:

Առաջադրանքներ